ラング「解析入門」解答集

本文について §6では，合成関数を定義したうえで，合成関数の微分公式を導く． また，三角関数・指数関数・対数関数とその導関数の公式だけが示されている． これらの関数の定義や微分公式の導出は後の章に譲っているので，まずは計算に習熟しようとの意図であろうし，これらの関数のことを既にある程度知っていることを暗黙の前提にしているのではないかとも思われる． 問題について 問題は，合成関数そのものの理解とその微分について多数ある．多すぎると思ったのか，最後の問題は「休め！」． なお，問題には答えを簡単にしようとこころみなくてもよいとなっているが，極力整理した． また，合成関数と考えにくい関数があったため，その場合は「合成関数と見る必要はない」と解答した． 問題の解答 問題1～10 の解答（合成関数の微分1） 問題11～20 の解答（合成関数の微分2） 問題21～30 の解答（合成関数の微分3） 問題31～40 の解答（合成関数の微分4）

本文について §5は，最初に連続の定義を与え，その後関数の和・積・商に対する有名な微分公式を証明する． P72に，商の微分公式の覚え方として，"分子の微分に分母を （中略） 2乗を分母とせよ"を詩のように記憶すればよいだろうとある．それで覚えることは難しいと思うが…． §6の合成関数の微分公式と合わせて，$f(x)$と$1/g(x)$の積の微分として都度導く方が馴染みやすい気がしている． 問題について 問題は，公式を確認するような微分計算と，接線の方程式を求める問題． 問題の解答 問題1～16 の解答（和・積・商の微分） 問題17～18 の解答（和・積・商の微分で接線を求める）

本文について §4では，$x$の累乗の微分について説明されている． まず，$x$の自然数乗について，導関数の定義を用いて$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{x-1}$であることを示し，一般の実数乗に対しても同様の公式が成り立つことが（天下り的に）述べられている． 問題について 問題は，4乗の展開を実行するところに始まり，公式を適用して微分や接線の方程式を求めるもの．微分公式自体が基本的なものなので，簡単である． 問題の解答 問題1～8 の解答（べき関数の微分・接線）

本文について §3では，§2で半ばなし崩し的に使った極限について，振り返る節となっている． とはいうものの，極限の概念は「直観的に明らかだろう」となっており，その後特に証明なく以下の極限の性質が説明されている． 和（差・積・商）の極限は，極限の和（差・積・商）に等しい はさみうちの原理 これらはε-δ論法でないと証明が難しいので，この本のスタイルではそうならざるを得ないのだが． ただ，付録2でε-δ論法とともにこれらの性質が証明されている． 問題について 問題はすべて，多項式関数と分数関数の導関数を定義に従って求めつつ，一つ一つの計算ステップに，極限の性質のどれを使っているのかを指摘させるというもの． 簡単だが，ちゃんと書くのはとても面倒で，極限と四則計算の交換をいかに当然のこととして無意識にやっているかを痛感させられる． 問題の解答 問題1～10 の解答（極限の性質）

本文について §2では，微分係数と導関数の定義（接線との関係を含めて），微分可能性についてである． 本の体裁として，極限の厳密な定義は付録に回しているので，ここでは極限を直観的にとらえて計算する説明． 微分の定義式のlimの中身を「ニュートン商」と呼んでいるが，なかなかお目にかからない単語だった．調べてみると他にも「差分商」「フェルマーの差分商」ともいうと． 問題について 問題1～11では，具体的な多項式関数や分数関数の導関数・微分係数・接線の方程式を求める． 問題12～15は，$x$の範囲によって表式が変わる関数（絶対値を外す場合分けも含む）について，左右の微分係数を比較して微分可能性を見極める問題． 本文の内容が理解できていれば，計算するだけで難しくはないと思う． 問題の解答 問題1～11 の解答（導関数と接線） 問題12～15 の解答（微分係数の存在条件）

本文について 第I部の「基礎事項の復習」が終わり，ここから第II部「微分と基本的な関数」になる． 第3章では，微分の直観的な定義に始まり，和・積・商の微分，合成関数の微分，高次導関数と，一通りの微分計算の方法が出てくる（逆関数の微分は第7章に後回し）。 最後に，物体の速度やプールの体積変化といった現実の問題への適用もある． 補充問題も多数あり，かなりのボリュームになる． §1は，曲線の傾きや接線を平均変化率の極限としてとらえる考え方を，図を使いながら直観的に説明している． 問題について 問題は，極限の考え方で微分係数を求める問題となっている．本当は$lim$の記号は§2で出てくるのだが，解答を簡潔にするために§1から使った． 問題の解答 問題1～14 の解答（双曲線の特性とグラフ）

本文について §8は放物線の解説．これで2次曲線の説明が一通り終わる． もっぱら，$xy=k$という形で表される，高校の数学では分数関数と呼ばれる関数について述べられ，$x^2-y^2=c$の形には言及されていない．焦点の話も出てこない． 問題について 問題は全て，分数関数のグラフを描くものである．一番難しい問題で1次式どうしの商なので，割り算で分子の次数を下げることができれば大丈夫． 問題の解答 問題1～14 の解答（双曲線の特性とグラフ）

本文について §7では放物線と座標変換の解説． 平方完成することで，放物線（円も）の平行移動の様子がつかめるという，高校数学の復習． とはいいながら，この本の場合，頂点や軸，焦点の話は表に出てこないので，より簡単になっている． 問題について 問題1～4は放物線のグラフを描く問題，5～12は放物線や円の方程式が与えられ，平方完成する問題である．地道に計算すれば解ける． 問題の解答 問題1～4 の解答（放物線の特性とグラフ） 問題5～14の解答（座標変換）

本文について §5では$x$と$y$の方程式が平面上でグラフの形で現れることがさらっと述べられ， §6ではその例として円と楕円を取り扱う． ここから，円や楕円・放物線・双曲線と，2次曲線の基本的な話になる． 高校の数学の時間では，2次曲線の焦点の定義と性質が出てくるが，この本では焦点は出てこない． 問題について 問題はすべて，方程式からグラフを描くもので，1～3は円の方程式である． 4以降になると楕円の方程式が並ぶ． 突然係数が不揃いの方程式が出てきて，何も解説ないままでは戸惑うんじゃないかな？と思ったが，最後に「これは楕円で，直径方向に伸縮された円である」と簡単な注意書きが． ヒントを手がかりに数式とグラフの関係を自分でイメージしてみよ，ということらしい． 問題の解答 問題1～3 の解答（円の特性とグラフ） 問題4～12の解答（楕円の特性とグラフ）