第14章§4 - 11

以下，求める積分を$I$とする．

※ 巻末解答は評価が粗く，問題の要求をみたしていない．

(a)

$x\geqq 0$において $$\begin{array}{c}{e}^x=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}+R_n\\ |R_n|\leqq e^x\frac{x^n}{n!}\end{array}$$ だから， $$\begin{array}{c}\frac{e^x-1}{x}=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{x^{k-1}}{k!}+\left|\frac{R_n}{x}\right|\\ \left|\frac{R_n}{x}\right|\leqq e^x\frac{x^{n-1}}{n!}\end{array}$$ である．ここで，$e<3$と評価すると誤差の上限は $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\left|\frac{R_n}{x}\right|\mathrm{d}x& <{\int }_0^1\frac{3x^{n-1}}{n!}\mathrm{d}x={\left[\frac{3x^n}{n\cdot n!}\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{n\cdot n!}\end{array}$$ と評価できる．これを$n=5,6,7,8$について計算すると以下の表の通りとなる． $$\begin{array}{cccc}n& \text{誤差の上限}& n& \text{誤差の上限}\\ 5& 5.0\times {10}^{-3}& 7& 8.5\times {10}^{-5}\\ 6& 7.0\times {10}^{-4}& 8& 9.3\times {10}^{-6}\end{array}$$ ゆえに，$n=7$とすれば小数第3位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=1}^6\frac{x^{k-1}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=1}^6{\left[\frac{x^k}{k\cdot k!}\right]}_0^1=\sum _{k=1}^6\frac{1}{k\cdot k!}\\ & \approx 1.317\end{array}$$ $n=8$とすれば小数第4位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=1}^7\frac{x^{k-1}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=1}^7{\left[\frac{x^k}{k\cdot k!}\right]}_0^1=\sum _{k=1}^7\frac{1}{k\cdot k!}\\ & \approx 1.3179\end{array}$$ である．

(b)

$x\geqq 0$において $$\begin{array}{}\text{(1)}& e^{-x^2}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-x^2{)}^k}{k!}+R_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{k!}+R_n\text{(2)}& |R_n|\leqq e^{-x^2}\frac{x^{2n}}{n!}\end{array}$$ である．だから，$0\leqq x\leqq 1$の積分範囲では$e^{-x^2}\leqq 1$だから誤差の上限は $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1|R_n|\mathrm{d}x& \leqq {\int }_0^1\frac{x^{2n}}{n!}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot n!}\right]}_0^1\\ & =\frac{1}{(2n+1)n!}\end{array}$$ と評価できる．これを$n=4,5,6,7$について計算すると以下の表の通りとなる． $$\begin{array}{cccc}n& \text{誤差の上限}& n& \text{誤差の上限}\\ 4& 4.7\times {10}^{-3}& 6& 1.1\times {10}^{-4}\\ 5& 7.6\times {10}^{-4}& 7& 1.4\times {10}^{-5}\end{array}$$ ゆえに，$n=6$とすれば小数第3位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=0}^5\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^5{\left[\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\right]}_0^1\\ & =\sum _{k=0}^5\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)k!}\approx 0.746\end{array}$$ $n=7$とすれば小数第4位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=0}^6\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^6{\left[\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\right]}_0^1\\ & =\sum _{k=0}^6\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)k!}\approx 0.7468\end{array}$$ である．

(c)

$x\geqq 0$において $$\begin{array}{}\text{(3)}& e^{x^2}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(x^2{)}^k}{k!}+R_n=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^{2k}}{k!}+R_n\text{(4)}& |R_n|\leqq e^{x^2}\frac{x^{2n}}{n!}\end{array}$$ である．ここで，$e<3$と評価すると誤差の上限は $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1|R_n|\mathrm{d}x& <{\int }_0^1\frac{3x^{2n}}{n!}\mathrm{d}x={\left[\frac{3x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot n!}\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{(2n+1)\cdot n!}\end{array}$$ と評価できる．これを$n=5,6,7,8$について計算すると以下の表の通りとなる． $$\begin{array}{cccc}n& \text{誤差の上限}& n& \text{誤差の上限}\\ 5& 2.3\times {10}^{-3}& 7& 4.0\times {10}^{-5}\\ 6& 3.2\times {10}^{-4}& 8& 4.4\times {10}^{-6}\end{array}$$ ゆえに，$n=6$とすれば小数第3位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=0}^5\frac{x^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^5{\left[\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot k!}\right]}_0^1\\ & =\sum _{k=0}^5\frac{1}{(2k+1)\cdot k!}\approx 1.462\end{array}$$ $n=7$とすれば小数第4位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\sum _{k=0}^6\frac{x^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^6\frac{1}{(2k+1)\cdot k!}\approx 1.4626\end{array}$$ である．

(d)

$x\geqq 0$における$e^{x^2}$のマクローリン多項式と剰余項は$\text{(3)}$, $\text{(4)}$の通りである． ここで，明らかに$e^{0.1}<2$だから誤差の上限は $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{0.1}|R_n|\mathrm{d}x& <{\int }_0^{0.1}\frac{2x^{2n}}{n!}\mathrm{d}x\\ & ={\left[\frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot n!}\right]}_0^{0.1}\\ & =\frac{2\cdot {0.1}^{2n+1}}{(2n+1)\cdot n!}\end{array}$$ と評価できる．これを$n=1,2$について計算すると以下の表の通りとなる． $$\begin{array}{cccc}n& \text{誤差の上限}& n& \text{誤差の上限}\\ 1& 6.7\times {10}^{-4}& 2& 2.0\times {10}^{-6}\end{array}$$ ゆえに，$n=2$とすれば小数第3,4位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{0.1}\sum _{k=0}^2\frac{x^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^2{\left[\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot k!}\right]}_0^{0.1}\\ & =\sum _{k=0}^2\frac{1}{(2k+1)\cdot k!}\approx 0.100\end{array}$$ である．

(e)

$x\geqq 0$における$e^{-x^2}$のマクローリン多項式と剰余項は$\text{(1)}$, $\text{(2)}$の通りである． ここで，$0\leqq x\leqq 0.1$で$e^{-x^2}\leqq 1$だから誤差の上限は $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{0.1}|R_n|\mathrm{d}x& \leqq {\int }_0^{0.1}\frac{x^{2n}}{n!}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot n!}\right]}_0^{0.1}\\ & =\frac{{0.1}^{2n+1}}{(2n+1)n!}\end{array}$$ と評価できる．これを$n=1,2$について計算すると以下の表の通りとなる． $$\begin{array}{cccc}n& \text{誤差の上限}& n& \text{誤差の上限}\\ 1& 3.3\times {10}^{-4}& 2& 1.0\times {10}^{-6}\end{array}$$ ゆえに，$n=1$とすれば小数第3位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{0.1}\sum _{k=0}^1\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^1{\left[\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\right]}_0^{0.1}\\ & =\sum _{k=0}^1\frac{(-1{)}^k{0.1}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\approx 0.099\end{array}$$ $n=2$とすれば小数第4位までの十分な精度が得られ， $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{0.1}\sum _{k=0}^2\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{k!}\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^2{\left[\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\right]}_0^{0.1}\\ & =\sum _{k=0}^2\frac{(-1{)}^k{0.1}^{2k+1}}{(2k+1)k!}\approx 0.0996\end{array}$$ である．