第14章§5 - 2

(a)

(証明)
7log910+2log2425+3log8180=7log3225+2log23352+3log34245=7(2log3log2log5)+2(3log2+log32log5)+3(4log34log2log5)=(7+612)log2+(14+2+12)log3+(743)log5=log211log910+3log2425+5log8180=11log3225+3log23352+5log34245=11(2log3log2log5)+3(3log2+log32log5)+5(4log34log2log5)=(11+920)log2+(22+3+20)log3+(1165)log5=log3
(証明終)

(b)

log910,log2425,log8180の近似値を求める. 最後に係数をかけて3つの近似値を足すことになるため,念のためそれぞれ小数第6位の精度で計算しておくことにする.

log910の計算

log910のマクローリン多項式と剰余項は問題1(b)で求めた通り log910=k=1n(1)k1k(0.1)k+Rn+1|Rn+1|10.9(n+1)10(n+1) である.n=5のとき|R6|1.9×107だから誤差を106以内とでき, log0.9k=15(1)k1k(0.1)k0.105360

log2425の計算

log2425のマクローリン多項式と剰余項は問題1(e)で求めた通り log2425=k=1n(1)k1k(0.04)k+Rn+1|Rn+1|22n+20.96(n+1)102n2 となる.n=3のとき|R4|6.7×107だから誤差を106以内とでき, log2425k=13(1)k1k(0.04)k0.040821

log8180の計算

log8180のマクローリン多項式と剰余項は log8180=log(1+180)=k=1n(1)k1k(180)k+Rn+1|Rn+1|(180)n+1n+1 となる.n=2のとき|R3|6.6×107だから誤差を106以内とでき, log8180k=12(1)k1k(180)k0.012421

ゆえに, log27×(0.105360)+2×(0.040821)+3×0.0124210.69314log311×(0.105360)+3×(0.040821)+5×0.0124211.09860