第14章§5 - 2 2/02/2024 (a) (証明) −7log910+2log2425+3log8180=−7log322⋅5+2log23⋅352+3log3424⋅5=−7(2log3−log2−log5)+2(3log2+log3−2log5)+3(4log3−4log2−log5)=(7+6−12)log2+(−14+2+12)log3+(7−4−3)log5=log2−11log910+3log2425+5log8180=−11log322⋅5+3log23⋅352+5log3424⋅5=−11(2log3−log2−log5)+3(3log2+log3−2log5)+5(4log3−4log2−log5)=(11+9−20)log2+(−22+3+20)log3+(11−6−5)log5=log3 (証明終) (b) log910,log2425,log8180の近似値を求める. 最後に係数をかけて3つの近似値を足すことになるため,念のためそれぞれ小数第6位の精度で計算しておくことにする.log910の計算log910のマクローリン多項式と剰余項は問題1(b)で求めた通り log910=∑k=1n(−1)k−1k(−0.1)k+Rn+1|Rn+1|≦10.9(n+1)⋅10−(n+1) である.n=5のとき|R6|≦1.9×10−7だから誤差を10−6以内とでき, log0.9≈∑k=15(−1)k−1k(−0.1)k≈−0.105360log2425の計算log2425のマクローリン多項式と剰余項は問題1(e)で求めた通り log2425=∑k=1n(−1)k−1k(−0.04)k+Rn+1|Rn+1|≦22n+20.96(n+1)⋅10−2n−2 となる.n=3のとき|R4|≦6.7×10−7だから誤差を10−6以内とでき, log2425≈∑k=13(−1)k−1k(−0.04)k≈−0.040821log8180の計算log8180のマクローリン多項式と剰余項は log8180=log(1+180)=∑k=1n(−1)k−1k(180)k+Rn+1|Rn+1|≦(180)n+1n+1 となる.n=2のとき|R3|≦6.6×10−7だから誤差を10−6以内とでき, log8180≈∑k=12(−1)k−1k(180)k≈0.012421ゆえに, log2≈−7×(−0.105360)+2×(−0.040821)+3×0.012421≈0.69314log3≈−11×(−0.105360)+3×(−0.040821)+5×0.012421≈1.09860