第14章§6 - 3

問題2より$\pi =4(\arctan {\displaystyle \frac{1}{2}}+\arctan {\displaystyle \frac{1}{3}})$である．

$4\arctan x$のテイラー多項式の剰余項$R_{2n}$において，$n=8$として$x={\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}}$の場合に剰余項を評価すると，

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき $$\begin{array}{c}|R_{2n}|\leqq 4\cdot \frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{17}}{17}=1.79\times {10}^{-6}\end{array}$$ $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき $$\begin{array}{c}|R_{2n}|\leqq 4\cdot \frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{17}}{17}=1.82\times {10}^{-9}\end{array}$$ となるから、$x^{15}$の項まで計算すれば小数第5位までの精度で$\pi$を計算できる．ゆえに， $$\begin{array}{rl}\pi & \approx \sum _{k=1}^8\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2k-1}+\sum _{k=1}^8\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2k-1}\\ & \approx 1.854588+1.287002\\ & \approx 3.14159\end{array}$$